對數運算法則的基本內容（附對數運算三大難點解析）

對數函數是重要的函數，自然也是高考的知識點，學習對數函數常會遇到一些難點，使解題思維陷入困境，歸納起來主要有三個方面。

難點1 底數不統一

對數的運算性質是建立在底數相同的基礎上的，但實際問題中，卻經常要遇到底數不相同的情況，碰到這種情形，該如何來突破呢？主要有三種處理的方法：

（1）化為指數式

對數函數與指數函數互為反函數，它們之間有著密切的關系：log_aN=b

a^b=N，因此在處理有關對數問題時，經常將對數式化為指數式來幫助解決。

（2）利用換底公式統一底數

換底公式可以將底數不同的對數通過換底把底數統一起來，然后再利用同底對數相關的性質求解。

（3）利用函數圖象

函數圖象可以將函數的有關性質直觀地顯現出來，當對數的底數不相同時，可以借助對數函數的圖象直觀性來理解和尋求解題的思路。

例1. 若a≠1，b≠1，a＞0，b＞0，且滿足關系式log_a2=，求a，b的值。

分析：已知關系式中的底數不相同，因此可設log_a2==m，轉化為指數來來解決

解：設log_a2==m，則

。

于是有

，

因為 a^m＞0,

所以

，

于是 log_a2=log_b3=－１，

解得

。

例2. 設log₂3=a，log₃7=b，求log₄₂56的值。

分析：兩個已知對數式的底數不相同，無法直接進行計算，所以首先應考慮統一底數，從條件看應該把底數統一為3。

解：由log₂3=a，可得

，

所以

。

例3. 若log_a2＜log_b2＜0，則a，b滿足的關系是

（A）1＜a＜b

（B）1＜b＜a

（C）0＜a＜b＜1

（D）0＜b＜a＜1

分析：兩個對數式底數不同，但真數相同，把兩個對數式看作是兩個對數函數在自變量取同一個值時的兩個不同的函數值，可通過圖象來分析。

解：log_a2，log_b2可以看成是對數函數y= log_ax，y= log_bx在x=2時的兩個函數值，可得大致圖象（如圖）。顯然，a，b均小于1，

根據對數函數的底數和圖象的關系可得0＜b＜a＜1，故選（D）。

難點2. 真數是和差的形式

利用對數的運算性質可將運算級別較高的運算降底為級別較低的運算，而和與差是運算中的最低級別，所以在處理真數是和差形式的對數問題時，難度較大，主要有兩種處理方法：①整體考慮；②對真數因式分解。

例4. 求滿足等式

的x的值。

分析：所給等式出現了對數之和的同時，又出現了一項含有x但又不帶對數符號的項，因此直接運用對數的運算法則及相關的性質無法運算，但兩個帶有對數符號的項的結構相似，因此解答此題要從結構上整體考慮。

解：由，

得

，

所以

，

令f(x)=

f(2x)=

，

于是有 f(x)=－f(2x)，

易證 f(x)是R的減函數，又是奇函數，

故由f(x)=f(－2x)，可得

x=－2x，x=0。

難點3 對數與對數相乘

兩對數相乘無法利用對數的運算性質求解，因此在解決此類問題時，要根據所給的關系式認真分析其結構特點，主要有三種處理方法：①利用換底公式；②整體考慮；③化各對數為和差的形式。

例5. 設log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m=log₃27，求m的值。

分析：已知等式是七個對數之積，其特點是：從第二個對數開始的每一個對數的底數是前一個對數的真數，真數是后一個對數的底數，因此采用換底公式將各對數換成以2為底的兩個對數的商，然后約分可達到目的。

解：由已知條件得

log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m

=log₂3·

=log₂m=log₃27=3

所以m=8。

例6. 計算：（lg2）²lg250+(lg5)²lg40。

分析：對數的乘積，無法直接運用對數性質，可以將對數lg250，lg40的真數分解為積的形式，進而將對數轉化為和差的形式。

解：原式

=（lg2）²lg(5²×10)+（lg5）²lg(2²×10)

=(lg2)²(2lg5+1)+(lg5)²(2lg2+1)

=(lg2)²+2lg2(lg5)²+2lg5(lg2)²+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5(lg5+lg2)+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5+(lg5)²

=(lg2+lg5)²=(lg10)²=1。